Convexité de quelques fonctions de référence

Fonction carré
Soit \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=x^2\) .
\(f\)  est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et \(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=2x\text{ et } f''(x)=2\) .
\(\forall x \in \mathbb{R},\ f''(x)>0\) , donc la fonction carré est convexe sur  \(\mathbb{R}\) .

Fonction cube
Soit \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=x^3\) .
\(f\)  est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et \(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=3x^2\text{ et } f''(x)=6x\) .

• \(\forall x \in ]-\infty\ ;\ 0],\ f''(x)\leqslant0\) , donc la fonction cube est concave sur  \(]-\infty\ ;\ 0]\) .
  
•   \(\forall x \in [0\ ;\ +\infty[,\ f''(x)\geqslant0\) , donc la fonction cube est convexe sur  \([0\ ;\ +\infty[\) .
  

La courbe représentative de la fonction cube admet donc un point d'inflexion d'abscisse \(0\) .

Fonction inverse
Soit \(f\)  définie sur \(]-\infty\ ;\ 0[ \cup ]0\ ;\ +\infty[\)  par \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\) .
\(f\)  est deux fois dérivable sur \(]-\infty\ ;\ 0[\)  et sur \(]0\ ;\ +\infty[\) .
\(\forall x \in ]-\infty\ ;\ 0[ \cup ]0\ ;\ +\infty[,\ f'(x)=-\displaystyle\frac{1}{x^2}\text{ et } f''(x)=\displaystyle\frac{2}{x^3}\) .

• \(\forall x \in ]-\infty\ ;\ 0[,\ f''(x) < 0\) , donc la fonction inverse est concave sur  \(]-\infty\ ;\ 0[\) .
  
•   \(\forall x \in ]0\ ;\ +\infty[,\ f''(x)>0\) , donc la fonction inverse est convexe sur  \(]0\ ;\ +\infty[\) .
  

Fonction exponentielle

Soit \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=\text{e}^x\) .
\(f\)  est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et \(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=\text{e}^x\text{ et } f''(x)=\text{e}^x\) .
\(\forall x \in \mathbb{R},\ f''(x)>0\) , donc la fonction exponentielle est convexe sur  \(\mathbb{R}\) .